TESELACIONES de M. C. Escher

"Manos Dibujando", Escher (litografía, 1948)

M. C. Escher dedicó una buena parte de su carrera a diseñar grabados que contenían recubrimientos con piezas en forma de animales. Para construir estas piezas se inspiró en los arabescos musulmanes. Estas decoraciones se realizaban partiendo de polígonos, en su mayoría regulares, que, mediante determinadas transformaciones, se convertían en las figuras que posteriormente cubrían una superficie de forma regular sin dejar huecos entre ellas.

En los cuadros y grabados de Escher, una de las características más relevantes es la utilización de la partición periódica del plano. Escher decía que:

«La partición periódica del plano es la fuente de inspiración más rica que haya encontrado jamás y está muy lejos todavía de haberse agotado”.

Algunas de las técnicas de Escher, estaban basadas en «deformar» algunos lados de los polígonos y llevar los cambios a los otros lados mediante traslaciones, rotaciones o reflexiones.

«Las leyes matemáticas no son meras invenciones humanas, simplemente lo son, existen independientemente del intelecto. lo más que un hombre puede hacer es descubrir que están ahí y tomar conciencia de ellas».

Haciendo girar el trozo recortado de un lado, con centro de giro uno de los vértices y ángulo 90º, pegando esta parte recortada sobre otro lado, si el polígono original es un triángulo, cuadrilátero o pentágono que recubra el plano.

 

Planteamos dos talleres de teselaciones. Uno de ellos construyendo el famoso  “lagarto” a partir de un hexágono con materiales como lápiz, compás,  tijeras y cartulinas y en el otro, utilizando el programa Geogebra.

 

FRACTALES

 

 

 

En este taller proyectamos parte del interesante documental “Fractales, a la caza de la dimensión oculta, que habla sobre la geometría fractal, cómo se descubrió ý qué aplicaciones tiene. El descubrimiento de los fractales por Benoit Maldelbrot supuso una revolución matemática, aunque no faltaron las críticas y burlas por parte de la comunidad científica hacia su persona y hacia su trabajo. Cuando las matemáticas se impusieron, se abrió un nuevo mundo por explorar, los fractales revolucionaron todos los campos donde se utilizaron. Teniendo en cuenta que la Naturaleza entera está llena de fractales, por primera vez se podían aplicar las matemáticas a las formas “extrañas” de la misma.

El alumnado manipuló un “brocoli” y una “coliflor”, para comprobar que dos verduras tan corrientes pueden esconder un universo matemático. Además construimos fractales sencillos con papel , como la escalera de Cantor o el triángulo de Sierpinski.

Por Censi Hdez Padilla , profesora de matemáticas

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ORIGAMI

El origami (折り紙) es el arte de origen japonés consistente en el plegado de papel, para obtener figuras de formas variadas.

En español también se le puede decir papiroflexia, aunque se le conoce más por su nombre oriental.

El origen de la palabra procede de los vocablos japoneses “oru» (plegar) y “kami» que designa al papel.

Según la filosofía oriental, el origami aporta calma, paciencia y perseverancia a quien lo practica, rasgo común de bastantes terapias basadas en el ejercicio manual.

Grulla de origami

Grulla de origami

KUSUDAMA

Kusudama  u origami modular, es una variante del origami que consiste en realizar figuras modulares, es decir, usando varias piezas de papel. Cada una de sus partes individuales debe cumplir las reglas de origami, es decir, partir de una hoja de papel cuadrada.

El vocablo proviene de las palabras japonesas “Kusu” (medicina) y “Dama” (esfera) y significa “esfera medicinal”. Las esferas de papel se realizaban con formas de flores y se colgaban encima de las camas de los enfermos rellenas con hierbas aromáticas para curarles.

Esfera de flores aromática

Esfera de flores aromática

KIRIGAMI

Kirigami es el arte de cortar el papel, dibujando con las tijeras.

En este caso, las figuras no se forman doblando papel, sino cortándolo. La idea es partir de una hoja de papel, y cortándola se obtiene una figura.

Su nombre proviene de las palabras japonesas “kiru” (cortar) y “gami” (papel).

Un ejemplo claro de esta técnica son las tarjetas pop-up, que están muy de moda.

Kirigami arquitectónicoKirigami arquitectónico

Otros ejemplos:

 

 

 

Alumnos en los distintos talleres:

 

 

 

 

 

Por Fran Arvelo, profesor de matemáticas, IES La Orotava – Manuel González Pérez

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El triángulo de SIERPINSKI

Wacław Franciszek Sierpiński : Matemático polaco que nació el 14 de marzo de 1882 en Varsovia y fallece el 21 de octubre de 1969, también en Varsovia. Son notables sus aportaciones a la teoría de conjuntos, la teoría de números, la topología y la teoría de funciones. Dedicó una parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales (Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas). Uno de estos fractales es el Triángulo de Sierpinski.

 

Construcción del Triángulo de Sierpinski

Partiendo de un triángulo equilátero generamos tres triángulos tomando como vértices los puntos medios de los lados del triángulo inicial.

 

Repitiendo este proceso varias veces obtenemos un fractal.

¿Qué vamos a construir?

El reto consiste en construir un triángulo de Sierpinski con latas de refresco. Para ello necesitaremos 729 latas y la estructura tendrá aproximadamente  4,24 metros de lado y una altura de 3,67 metros.

Comenzaremos construyendo tres triángulos de 9 latas para formar un triángulo de 27 latas.

A continuación  uniremos tres triángulos de 27 latas para formar para formar un triángulo 81 latas

Con todo el material a punto, con la colaboración de Claudia, Ainoa, Kataiza, Érika,  David y de  todos los alumnos de primero a tercero de ESO, nos pusimos manos a la obra…

Después de tres horas de trabajo montamos los  9 triángulos de 81 latas

Finalizado el trabajo en el taller pasamos a la fase de montaje de la estructura en el exterior. Para ello contamos con la ayuda de  alumnos, profesores y sobre todo de Fernando.

Tras casi seis horas de trabajo, nuestro Triángulo de Sierpinski ya era una realidad…

Por Gonzalo Guzmán (profesor de matemáticas)

 

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La máquina ENIGMA

La máquina Enigma era un aparato electromecánico parecido a una máquina de escribir, con un teclado y un tablero luminoso de 26 letras. Dentro tenía tres ruedas con 26 posiciones o letras y un clavijero, entre el teclado y el primer rotor. Variando las clavijas y la posición de las ruedas se modificaba la clave para elaborar los mensajes. Fue utilizada por los alemanes durante la segunda guerra mundial para encriptar sus comunicaciones militares y la considerabanindescifrable.

La lucha por descifrarla es un caso más de la batalla permanente entre los criptógrafos, los creadores de un sistema de cifrado que pretende ser secreto si no conoces la clave, y los criptoanalistas, que quieren descubrir esa clave secreta. Es una lucha en la sombra que casi no se conoce, pero que está presente en casi todas las guerras y muchas veces es la batalla más decisiva. En el caso de Enigma, en el bando contario nos encontramos a personajes como el matemáticos Marian Rejewski, polaco, y Alan Turing, británico, cuyo trabajo sucesivo, y junto a otros compañeros, lograron descifrar los códigos de Enigma. El trabajo de Turing le llevó a crear el primer ordenador de uso general y establecer los principios de la “máquina universal”, uno de los pilares de la informática moderna. Por ello es considerado, junto con el matemático húngaro John von Neumann, el padre de la computación.

Jornadas de la Ciencia y Tecnología – Alumnos en taller sobre la máquina Enigma:

 

 

 Por Emilio Nieto , profesor de matemáticas,  IES La Orotava – Manuel González Pérez

 

Más artículos relacionados:

“Código Enigma, descifrado: el papel de Turing en la Segunda Guerra Mundial”  (para leer el artículo pincha aquí)

 

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La noche de las Estatuas (por Agapito de Cruz)

 

 Con la llegada de la primavera, las estatuas de La Orotava despiertan a la vida. Sucede sólo la noche del solsticio y es un ritual que termina al alba. Saltan de sus pedestales y corretean por las calles hasta confluir en el séptimo piso de los Jardines Victoria. En este aquelarre pétreo, bajo la luz amarillenta de las farolas, Simón Bolívar y Rómulo Betancourt gesticulan acaloradamente con Leonor Pérez mediando entre ellos. Don Bosco y el Obispo Pérez Cáceres, recuerdan el paso del Santísimo bajo la atenta mirada de El Alfombrista. Juan Dóniz tira los tejos a la princesa Dácil, mientras Telesforo Bravo observa el basalto del barranco de Araujo. Tomás Calamita compone su obra póstuma en el regazo de Capricho, que tirita de frío. Anóniman con sus frases de la autopista, disculpa su asistencia ya que cambia sus letras a media noche. La C de cultura, una mano uniendo los pueblos y la espiral de Franchi Alfaro no pueden hablar pues no tienen rostro, pero todas saben que sin ellas no existirían. De pronto, el silencio. Del mausoleo surge un profundo lamento. El fantasma de Diego Ponte del Castillo envuelve el mundo de piedra y metal de las estatuas. Sobre ellas, el rocío de sus lágrimas por habérsele negado la muerte y no existir ni en su propia tumba.

Agapito de Cruz  (para más información pincha aquí)

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